?

Log in

No account? Create an account

Электронная газета "Вести образования"

Previous Entry Share Next Entry
Предметные результаты по математике
eurekanext
Начало 5-го класса можно считать одним из узловых этапов в школьной жизни. Данный этап характеризуется прежде всего переходом от начальной к основной школе и сопряжен с определенными изменениями в укладе школьной жизни, новыми требованиями к учащимся в плане самостоятельности, ответственности за собственные действия и т.п.

Что касается собственно математики, в течение ближайших двух лет (5–6-е классы) остается единый, без разделения на алгебру и геометрию, предмет «Математика». Однако начиная именно с 5-го класса содержание данного предмета претерпевает существенные изменения. Если на протяжении предшествующих четырех лет основное содержание курса математики составляла арифметика натуральных чисел (В ряде программ начальной школы вводится представление о дробях, но этот материал в большей степени носит пропедевтический, а не систематический характер.) , то в 5-м и 6-м классах изучаются новые виды чисел: обыкновенные и позиционные (десятичные) дроби (5-й и частично 6-й класс), отрицательные числа (6-й класс). Более того, по нашему мнению, к концу 6-го класса должно быть сформировано представление о системе действительных чисел, которая является фундаментом для последующего введения понятия функции – основного понятия последующего курса алгебры.
Основными задачами стартовой проверочной работы по математике в 5-м классе являются:
– проверка готовности учащихся к изучению курса математики 5-го класса, на основании которой должна быть организована целенаправленная коррекционная работа;
– установление вместе с учащимися границы их знаний с целью определения основных задач в изучении предмета, стоящих перед ними в новом учебном году.
Основное содержание курса математики 5-го класса составляет введение новых видов чисел (обыкновенные, а, возможно, и позиционные дроби), развитие на этой основе освоенных способов решения текстовых задач, расширение геометрического материала. Новое содержание выстраивается главным образом на основе способов действия, освоенных в начальной школе (измерения, широкое использование моделей, таких как числовая прямая, чертежи, таблицы), которые служат и для постановки новых задач, и для их решения.
Положенная в основу проводившегося мониторинга работа в большей степени рассчитана не на проверку формальных знаний учащихся за курс начальной школы, а на оценку их предметной компетентности, умения видеть границу собственных знаний и тем самым формирование у них соответствующей учебной мотивации.
Необходимо подчеркнуть, что целью мартовского мониторинга являлась прежде всего апробация заданий с целью их последующей доработки или замены.
Остановимся на замысле работы. В нее были включены задания, которые условно можно отнести к трем типам.
Первый тип заданий соответствует материалу, изученному в начальной школе. Роль этих заданий двоякая. Во-первых, они дают дополнительный материал для организации коррекционной работы. Во-вторых, эти задания, соответствующие зоне актуального развития, являются тем фоном, на котором могут быть выявлены границы, которые необходимо преодолеть для решения новых задач (зона ближайшего развития).
Второй тип заданий – задания на «разрыв», назначение которых показать перспективы дальнейшего изучения математики в 5-м классе. Такие задания строятся за счет кажущегося на первый взгляд незначительным видоизменения заданий первого типа.
Наконец, к третьему типу могут быть отнесены задания, не имеющие непосредственного отношения к основному содержанию курса математики, но важные с точки зрения формирования и оценки учебной грамотности (задания, предполагающие активную работу с текстом, задания на выявление и анализ закономерностей и т.п.).
Не совсем обычным в работе было условие выбора учащимся 8 заданий из 10. С одной стороны, это требование можно рассматривать как своеобразный способ проверки умения учащегося действовать по инструкции. Но главное – не в этом. Отказ от решения большинством учащихся класса одних и тех же заданий позволяет предположить, что в данном классе имеются проблемы с изучением соответствующего материала. Кроме того, представляет интерес оценить, какова корреляция между выбором заданий и их решаемостью, иными словами, насколько осознанным является выбор. Такая оценка была проведена на малой выборке (43 ученика 4–5-х классов одной из школ, работающих по системе Д.Б. Эльконина – В.В Давыдова). Получено значение коэффициента корреляции 0,39, которое следует признать значимым (пороговые значения для уровней значимости 5% и 1% составляют 0,25 и 0,36 соответственно (Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983. – 416 с.)). Естественно, для других школ оценка может отличаться в ту или другую сторону.
На той же выборке были рассмотрены комментарии учащихся к заданиям. В инструкции по выполнению работы было сказано: «Если не сможешь решить какое-либо задание, то опиши свою трудность в специально отведенном для этого месте (комментарии и вопросы ученика)». Комментарии позволяют оценить, насколько осознанно учащиеся подходят к выбору заданий, видят ли границу собственных знаний, в состоянии ли сформулировать, чего именно им не хватает для решения задачи. Наряду с такими «содержательными» комментариями можно говорить о «бессодержательных» комментариях, например: «это задание слишком легкое», «на это задание я потратил такое-то время» и т.п. По-видимому, такие малоинформативные комментарии могут говорить об определенном стиле обучения в соответствующих классах. Например, 43 учащихся, о которых шла речь выше, оставили в общей сложности 51 комментарий, из которых к содержательным можно отнести 35 комментариев.
Остановимся на отдельных заданиях из работы по математике.
Задание 2. Для того чтобы узнать, делится ли одно число на другое, не всегда необходимо выполнять деление этих чисел. Например, известно, что если сумма цифр некоторого числа делится на 3, то и само число делится на 3; если же сумма цифр не делится на 3, то и само число не делится на 3. Это свойство получило название «признак делимости на 3». Существуют и другие признаки делимости.
Какую цифру нужно подставить вместо звездочки, чтобы число 3124*501 делилось на 3 и было как можно больше?

Комментарий к заданию:
Задание рассчитано на использование незнакомой информации, содержащейся в тексте, и по существу показывает учащимся перспективу дальнейшего изучения математики в 5-м классе (одной из тем 5-го класса являются признаки делимости).
Кроме того, важным моментом является необходимость удержания сразу двух условий: число, получаемое в результате подстановки найденной цифры, должно делиться на 3 и быть наибольшим из возможных. Если в результате выполнения задания получено число, не делящееся на 3, это говорит о непонимании учащимся новой информации. Если же получившееся число делится на 3, но не является наибольшим в данных условиях (отличается от 31 248 501), можно заключить, что у учащегося имеются проблемы с удержанием одновременно нескольких требований в условии задачи.


Правильный ответ: 8.

Типичные ошибки:

1) Ответ 2 или 5 – выбирается цифра, обеспечивающее делимость на 3 числа, полученного в результате подстановки, но это число не является наибольшим возможным.
2) Ответ 9 – возможно двоякое толкование этой ошибки: либо игнорируется условие делимости на 3 (выбирается просто самая большая цифра), либо это условие не понято («9 делится на 3 – значит, подходит»).
3) Ответ 31 248 501 − скорее, недочет – нечеткий ответ на поставленный вопрос: в ответе записывается не цифра 8, а получившееся в результате ее подстановки число.
Данное задание выполнили 284 212 учащихся 4–5-х классов (97% участников мониторинга выбрали это задание). Полностью справилось с этим заданием более 42% учащихся, частично справилось – 17%. Не справились с этим заданием 41% школьников.

Задание 3. Из квадратов, кругов и треугольников составляют ряд по определенному правилу. На рисунке показано начало этого ряда.

05

Нарисуй три фигуры этого ряда, начиная с 50-й.

Комментарий к заданию:
Задание проверяет умение выявлять закономерность в последовательности фигур и находить требуемый фрагмент этой последовательности.
Задание не связано непосредственно с программным материалом, но не требует для решения каких-то дополнительных знаний. Представляется, что задания такого типа, связанные с поиском и анализом закономерностей, играют существенную роль в формировании абстрактного мышления. Ошибка в решении говорит либо о неумении находить закономерность в фрагменте последовательности, либо, что более вероятно, о затруднении в исследовании последовательности на основании найденной закономерности. Наряду с решением, построенным на тщательном анализе установленной закономерности, возможно (хотя и менее интересно) решение «в лоб» – путем непосредственного «выписывания» всех членов последовательности вплоть до искомых.


Типичные ошибки:
1) − учащийся рисует три фигуры, следующие за представленным фрагментом ряда, игнорируя условие, что должны быть нарисованы фигуры, начиная с 50-й.
2) − нарисованы три фигуры, начиная с 51-й.

07

Данное задание выполнили 289 920 учащихся 4–5-х классов (98% участников мониторинга выбрали это задание). Полностью справились с этим заданием более 52% учащихся, частично справились – 12%. Не справились с этим заданием 36% школьников.

Задание 5. Петя и Сережа измеряли площадь и периметр квадрата со стороной 3 м.
У Пети получилось, что площадь квадрата равна 9 м2, а периметр равен 12 м, из чего он сделал вывод, что периметр этого квадрата больше его площади.
Сережа возразил Пете: «Я перевел метры в дециметры. Длина стороны квадрата равна 30 дм. Его площадь равна 900 дм2, а периметр 120 дм. Значит, площадь больше периметра».
А как считаешь ты? Изложи свою точку зрения так, чтобы убедить и Петю, и Сережу в своей правоте.

Комментарий к заданию:
Задание рассчитано на проверку понимания, что сравнивать можно только величины одного рода, и умения аргументировать свою точку зрения.

Правильный ответ: Неправы оба мальчика. Сравнивать площадь фигуры и периметр (длину ее границы) нельзя, т.к. это величины разных родов.

Типичные ошибки:
1) Утверждается, что оба мальчика правы (при том что их выводы взаимно исключающие!).
2) Прав Петя, т.к. его расчеты проще.

Задание выполнили 265 113 учащихся 4–5-х классов (90% участников мониторинга выбрали это задание). Полностью справились с этим заданием около 20% учащихся, частично справились – 14%. Не справились с этим заданием 66% школьников.

Задание 7. Реши на выбор одну из задач. Объясни свой выбор.
1) 100 учебников математики для 5-го класса стóят 4600 руб. Сколько нужно потратить на покупку учебников математики для 5 «Ы» класса, если в нем 23 ученика?
2) В киоске было 100 книг общей стоимостью 4600 руб. Для библиотеки купили 23 книги. Сколько потратили на покупку?

Комментарий к заданию:
Задание проверяет умение анализировать и решать текстовые задачи – одно из базовых умений, формируемых в курсах математических дисциплин на протяжении всего периода обучения. Более конкретно, проверяются следующие умения: 1) различать тексты, описывающие равномерные процессы, и тексты, не дающие оснований считать описываемый процесс равномерным; 2) решать задачи на равномерные процессы.

Правильный ответ: Должна быть выбрана и решена только первая задача. Ответ: 1058 руб. Обоснование выбора: в первой задаче все учебники одинаковые и, следовательно, имеют одну и ту же цену (рассматривается равномерный процесс купли-продажи). Во второй задаче книги могут иметь разную цену, поэтому задачу решить нельзя.

Типичные ошибки:
1) Утверждается, что задачи одинаковые.
2) Выбирается вторая задача, «потому что она проще», «потому что в первой задаче ненужные данные про учебники математики» и т.п.
3) Неумение решать задачи на прямую пропорциональную зависимость, вычислительные ошибки.

Задание выполнили 288 684 учащихся 4–5-х классов (98% участников мониторинга выбрали это задание). Полностью справились с этим заданием 28% учащихся, частично справились – 35%. Не справились с этим заданием 37% школьников.

Задание 8. Длина прямоугольника 6 см, а его ширина на 2 см меньше. Какова длина стороны квадрата, имеющего периметр, равный периметру прямоугольника?
1) Реши задачу.
2) Начерти этот квадрат.

Комментарий к заданию:
Задание проверяет владение базовыми геометрическими понятиями, умение решать текстовые задачи на основе геометрического материала.

Правильный ответ: 5 см. Должен быть начерчен квадрат со стороной 5 см.

Типичные ошибки:
1) Условие «ширина на 2 см меньше» заменяется на «ширина равна 2 см» – отсюда ответ: 4 см.
2) Вместо периметра находится сумма длины и ширины – отсюда ответ: 2 см 5 мм.
3) Решение не доводится до конца – отсюда ответ не на поставленный вопрос: периметр равен 20 см.
4) Периметр прямоугольника вычисляется как произведение сторон (площадь).
5) Вместо квадрата нарисован исходный прямоугольник.
6) (Не очень существенная ошибка) – построен квадрат произвольного размера, но подписаны стороны 5 см.

Задание выполнили 289 202 учащихся 4–5-х классов (99% участников мониторинга выбрали это задание). Полностью справилось с этим заданием 46% учащихся, частично справилось – 15%. Не справились с этим заданием 39% школьников.

Задание 10. Какой самый большой результат может получиться, если в сумме двух трехзначных чисел А5В + ВС3 буквы заменить цифрами? (Разные буквы заменяются разными цифрами.)

Комментарий к заданию:
Задание проверяет понимание позиционного принципа строения многозначного числа, которое будет необходимо в 5–6-х классах при изучении позиционных (десятичных) дробей. Ошибочное решение говорит либо о непонимании разрядного состава многозначного числа, либо о неумении организовать целенаправленный поиск (возможно, путем проб) числа, удовлетворяющего заданному условию.

Правильный ответ: 1832.

Типичные ошибки:
1) 1831 – учащийся правильно находит C = 7 (что достаточно просто), но из двух вариантов (А = 9, В = 8) и (А = 8, В = 9) рассматривает только первый.
2) 1952 – игнорируется условие «разные буквы заменяются разными числами».
3) (Менее существенная ошибка) – решение не доводится до конца – правильно находятся значения А, В, С или слагаемые А5В и ВС3, а не их сумма.

Задание выполнили 272 855 учащихся 4–5-х классов (93% участников мониторинга выбрали это задание). Полностью справились с этим заданием 22% учащихся, частично справилось – 25%. Не справились с этим заданием 53% школьников.

Задание 9. Можно ли:
1) 125 карандашей разложить поровну в 5 коробок?
2) 125 карандашей разложить в 10 коробок?
3) 125 карандашей разложить поровну в 9 коробок?
4) 125 л воды разлить поровну в 9 вёдер?

Комментарий
Задание связано с одной из важных тем пятого класса – «Признаки делимости», хотя вполне может быть выполнено с помощью средств, доступных учащимся уже на данном этапе. Ведь для ответа на вопрос, делится ли одно число на другое, можно просто попытаться выполнить деление непосредственно. (К заданию целесообразно вернуться при изучении признаков делимости.)
Прямое отношение к делимости целых чисел имеют только случаи 1 и 3. Вопросы 2 и 4 носят скорее провокационный, «ловушечный» характер и рассчитаны на неформальный подход к поиску ответа. В случае 2 не говорится, что карандаши должны быть разложены в коробки поровну, поэтому разложить 125 карандашей в 10 коробок можно. В случае 4, хотя речь и идет о делении на равные части, разделить нужно не некоторое количество предметов, что возможно только, когда число предметов делится на количество частей нацело, а о делении заданного объема воды, что возможно всегда. Хотя учащиеся еще не знакомы с дробями, для правильного ответа достаточно внимательного прочтения условия и здравого смысла.


Задание выполнили 288 200 учащихся 4–5-х классов (98% участников мониторинга выбрали это задание). Полностью справилось с этим заданием 18% учащихся, частично справилось – 38%. Не справились с этим заданием 44% школьников.

Теперь остановимся на заданиях, которые, по нашему мнению, требуют доработки или замены.

Задание 1.
Задание изначально предполагалось в несколько другой редакции:
Измерь площади А, В единицей (меркой) Е. Результат измерения покажи точно или приближенно на числовой прямой.

06

Здесь, в отличие от варианта задания, предложенного в мониторинге, имеется принципиальное различие между результатами измерения величин А и В. Площадь А состоит из 4 единиц Е (в этом можно убедиться либо перекраивая соответствующую фигуру, либо с помощью подсчета клеточек). Соответственно, на числовой прямой должна быть отмечена точка 4. Площадь В не выражается целым числом единиц Е. Это число 4  , скорее всего, не знакомое учащимся на данном этапе. Учащийся может отказаться от выполнения этой части задания, зафиксировав в комментариях причину отказа. Еще лучше, если на числовой прямой будет отмечена точка, находящаяся между точками 4 и 5, в идеале ближе к 5. При последующем обязательном обсуждении работы делается вывод о недостаточности известных из начальной школы чисел для решения некоторых задач измерения.
В дальнейшем предполагается вернуться к этому варианту задания.

Задание 4.
Найди неизвестные числа а и b по схеме. Если какое-то из чисел найти не удается, попробуй объяснить, почему.


08

Задание базируется на треугольной схеме умножения/деления – модели, рассматриваемой в курсах математики начальной школы по системе развивающего обучения Д.Б. Эльконина – В.В. Давыдова (Давыдов В.В., Горбов С.Ф. и др. Математика, 2-й кл. (система Д.Б. Эльконина – В.В. Давыдова). – М.: Вита-Пресс.) . Ввиду того что данная модель не используется в других курсах начальной школы, данное задание будет заменено.

Задание 6.
Говорят, что точка В лежит на линии между точками А и С, если двигаясь по этой линии из А в С (или из С в А) мы обязательно пройдем через точку В. Эта ситуация показана на рисунке 1.


02
Рис.1

Проведи через точки М, К, Р, показанные на рисунке 2, линию так, чтобы точка Р лежала на ней между точками М и К.

03
Рис. 2

По данному заданию получена весьма высокая, приближающаяся к 100% решаемость, в связи с чем можно сделать вывод о его недостаточной диагностичности. Задание будет заменено.

Предложения к замене заданий
Замена к заданию 4.

Саша ниже Коли на 5 см. Рост Пети отличается от роста Коли на 8 см. Известно, что Петя выше Саши. На сколько сантиметров?
Комментарий к заданию
Может показаться, что в задаче не хватает данных: не указан рост Коли, а значит, нельзя найти рост Саши и Пети; непонятно, Петя выше или ниже Коли.
Поскольку из текста задачи сразу непонятно, Петя выше или ниже Коли, естественно рассмотреть оба эти варианта. (К сожалению, задачи, связанные с опробованием различных вариантов, – по существу это можно назвать проверкой гипотез – встречаются в курсах математики довольно редко.)
Если предположить, что Петя ниже Коли, получаем, что он и ниже Саши, что противоречит условию задачи. Это хорошо видно из чертежа:

04

Аналогичным образом рассматривается второй вариант, в результате чего устанавливается, что Петя выше Саши на 13 см.
Ожидаемые типичные ошибки: 3 см; утверждение, что в задаче не хватает данных.
Замена к заданию 6.
На рисунке показана ломаная линия и точки А и В. Сколько раз прямая АВ пересекает ломаную?

01

Комментарий к заданию:
Задание проверяет владение простейшей геометрической терминологией и символикой, понимание различия таких фигур, как прямая и отрезок. Понимание таких геометрических абстракций, как бесконечность прямой, чрезвычайно важно в последующем при изучении систематического курса геометрии.

Правильный ответ: 7.
Ожидаемый типичный ошибочный ответ: 3.
В.М. Заславский.,
завкафедрой математики ОИРО, канд. техн. наук

  • 1
Ничего себе, тот кто писал удачно написал!

  • 1